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可表达性、递归函数、图灵可计算（也就是目前的计算机可计算）、lａｍbdａ函数等计算模型都是等价的。正因为这些计算模型的等价性，哥德尔的工作经常被借鉴到其它计算模型上去。

    4.自引用

    哥德尔在第一不完全性定理的证明中，构造了一个公式G，使得这个G是真的但在这个系统内却是不可证的。这个G可以理解为以下的汉语描述：“这个数论语句在系统中是不可证的。”这个G是不可证的，也就是“这个数论语句在系统中是不可证的”在系统中是不可证的。在这里，我们看到了“自引用”（或称“自指”“怪圈”）。

    这种怪圈并不是在数学上独有的。侯世达先生（DouglａsR。Hofstａdtｅr）的《哥德尔、艾舍尔、巴赫――集异壁之大成》［2］是人工智能界的一本奇书。在这本书里，作者考察了各种形式的“自引用”为了对这种“自引用”有个直观的了解，大家不妨看一下艾舍尔的木雕画，看看那些“瀑布”、“拿着反光球的手”、“变形”、“左手画右手，右手画左手”等怪画。同样，在巴赫的卡农与赋格里，也存在类似的怪圈。数理逻辑学家哥德尔更是神奇般地把这种怪圈引进了以精确著称的数学领域。令人叫绝的是，侯世达先生甚至在本书的创作中也使用了很多怪圈。

    另外，在博尔赫斯和卡尔维诺的文学作品里，我们也可以看到类似的怪圈。我在《玄奘东归记》的创作中，也吃使用了这种怪圈。

    再者，这种怪圈在道德界也经常可以发现，但它往往是以反面的形式出现，也就是“不自指”的。我们习惯于指责他人，我们很难做到“责人先责己”我们严于律人，宽以待己。我们习惯于指责其它民族，我们却很难反省一下我们历史上的“帝王将相”动则活埋数十万人，我们却很难反省一下狂乱的“文化大革命”（目前，市面上总算看到了关于文革反省的《一百个人的十年》（冯骥才著））我们习惯于指责社会的物质化，我们却很难控制自己对物质的**。我们习惯于指责社会在堕落，我们却很难反省我们参与了整个社会的堕落。我们习惯于指责其他人贪污**，我们却很难反省一下我们对权力财富的不当追逐。我们习惯于说别人都是坏的，我们却很难反省我们自己也是坏的。其实，一切道德命题都应该是“自指的”康德的“普遍化原则”说道：“要只按照你同时认为也能成为普遍规律的准则去行动。”

    再来看自然语言方面，每个词语都要由其它词语定义，那么在语词深处，不可避免地是循环定义的，是自引用的。

    不要再讲这么多太玄的东西，我们只要简单地对看一眼，这时就是一个“自引用”的悖论。假设甲与乙对看了一眼，那么请问甲看得多，还是乙看得多？如果说甲看得多，那么甲看到的所有东西（通过甲的眼睛在乙的眼睛里的成像）都会被乙看到，这样来说乙看得更多；如果说乙看得多，同理可得甲看得更多。这不是悖论是什么？

    这种怪圈在音乐界，在美术界，在文学界，在数学界，道德界、语言界乃至日常生活中都有其客观的存在，那能否说怪圈是人类的一种普遍现象呢？是不是因为某种更本质的怪圈（比如意识里的怪圈），才导致了这种怪圈现象在音乐、在美术、在文学、在数学上的投影呢？现象学、存在主义、心理学、唯识学能对这种怪圈现象有什么贡献吗？

    5.不一致

    根据第一不完全性定理可以推导出，一个包含算术形式系统的一致性在这个系统内是不可证的。这就是哥德尔第二不完全性定理。根据这个定理，一致性的证明超出了形式系统的能力。也就是说，形式系统可能是一致的，形式系统也可能是不一致的。在没有发现形式系统的矛盾性之前，我们只有学习维特根斯坦，对系统的“一致性”保持沉默。

    前期的维特根斯坦认为语言与世界共有一种逻辑本质并追求一种精确的语言，而后期的维特根斯坦则承认日常语言，接受日常语言的模糊性，诉诸常识――世界图示。这又能给我们什么启示？

    我们左绕右绕，绕了这么久，还是绕不开“不一致”？那么我们不妨换一种思维：“既然甩不掉你，那你要跟着，你就跟着吧”或许“不一致”正如同人的影子，它是人类远不脱的宿命？

    在这样的思路下，非单调逻辑和弗协调逻辑诞生了。

    非单调逻辑承认人在不同时间里理论不协调性的可能。比如当人类看到大雁会飞、鸽子会飞…于是总结出“所有的鸟都是能飞的”但后来人类又发现驼鸟是不能飞的，于是原来的命题就应该改为“所有的鸟都是能飞的，除了驼鸟”而且，如果以后发现还有其它鸟不能飞，这个命题就还要再改。这样来看，系统的定理集并不是单调递增的。

    非单调逻辑在“允许不一致”方面进行了探索，但非单调逻辑还不是严格的“不协调的逻辑”非单调逻辑允许在不同的时间里可以有ａ和┐ａ同时成立，但是在同一时间里，非单调逻辑也不允许ａ和┐ａ同时成立。

    那么，是否有一种逻辑允许ａ和┐ａ同时成立呢？

    我们来分析一下，如果有一种逻辑系统允许ａ和┐ａ同时成立，那么这个系统称为不一致的。由反证法规则可以推导出，在不一致的系统里，所有的公式都是真的。这种公式全真的系统，我们称之为“不足道的系统”也就是没有研究价值的系统。如此可以看出“不一致的系统”（通过反证法规则）一定是“不足道的系统”那么，我们能不能构造一个“不一致但又足道的系统”呢？答案是可以的，前提是该系统里不能承认反证法规则。

    弗协调逻辑（PａrａｃonsistｅntLogiｃ）［3］，就是这样一个逻辑系统。在这个逻辑系统里，矛盾律和反证法不普遍有效。如此，就引入了一个不一致但却足道的逻辑系统。弗协调逻辑是人类思维的一个大胆飞跃，它大胆地否定了“矛盾律”的普遍有效性，在系统里面引入了“不一致”在这个逻辑系统里，ａ和┐ａ可以同时成立。

    科斯塔（N。ｃ。ａ。dａｃostａ，1929－），弗协调逻辑的开创者，定义了一系列逻辑系统(1